[bzoj 1096][ZJOI2007]仓库建设

Description

  L公司有N个工厂,由高到底分布在一座山上。如图所示,工厂1在山顶,工厂N在山脚。由于这座山处于高原内陆地区(干燥少雨),L公司一般把产品直接堆放在露天,以节省费用。突然有一天,L公司的总裁L先生接到气象部门的电话,被告知三天之后将有一场暴雨,于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。由于地形的不同,在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件,在第i个工厂位置建立仓库的费用是Ci。对于没有建立仓库的工厂,其产品应被运往其他的仓库进行储藏,而由于L公司产品的对外销售处设置在山脚的工厂N,故产品只能往山下运(即只能运往编号更大的工厂的仓库),当然运送产品也是需要费用的,假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。假设建立的仓库容量都都是足够大的,可以容下所有的产品。你将得到以下数据:1:工厂i距离工厂1的距离Xi(其中X1=0);2:工厂i目前已有成品数量Pi;:3:在工厂i建立仓库的费用
Ci;请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案,使得总的费用(建造费用+运输费用)最小。

Input

  第一行包含一个整数N,表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。

Output

  仅包含一个整数,为可以找到最优方案的费用。

Sample Input

3
0 5 10
5 3 100
9 6 10

Sample Output

32

HINT

在工厂1和工厂3建立仓库,建立费用为10+10=20,运输费用为(9-5)*3 = 12,总费用32。如果仅在工厂3建立仓库,建立费用为10,运输费用为(9-0)*5+(9-5)*3=57,总费用67,不如前者优。

【数据规模】

对于100%的数据, N ≤1000000。 所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内,保证中间计算结果不超过64位带符号整数。

Solution

斜率优化的最后一题,也是首个1A的题QQ图片20160623113105

f(i)表示前i个货物安放好的最小花费,容易推出

f(i)=min\begin{Bmatrix}f(j)+c(i)+\sum_{k=j+1}^{i}(x[i]-x[k])*p[k]\end{Bmatrix}

这样直接算时间复杂度是O(n^{3})

考虑前缀和优化,我们先对原式进行拆开,得到

f(i)=min\begin{Bmatrix}f(j)+c(i)+x[i]\sum_{k=j+1}^{i}*p[k]-\sum_{k=j+1}^{i}x[k]*p[k]\end{Bmatrix}

s1[i]=\sum_{j=1}^{i}p[j],s2[i]=\sum_{j=1}^{i}x[j]*p[j]

则有

f(i) = min\begin{Bmatrix}f(j) + c(i) + x[i]*(s1[i]-s1[j]) - s2[i] + s2[j]\end{Bmatrix}

然后就可以斜率优化辣>.<

本想就这么水完但是毕竟是最后一题了我还是总结下吧。。。QQ图片20160623113046

假设k<j<ijk

可以推出

f(j)+c(i)+x[i]*(s1[i]-s1[j])-s2[i]+s2[j]\leq f(k)+c(i)+x[i]*(s1[i]-s1[k])-s2[i]+s2[k]

整理两边式子,得到

f(j) + x[i]*s1[i] - x[i]*s1[j] + s2[j] \leq f(k) + x[i]*s1[i] - x[i]*s1[k] + s2[k]

合并同类项,移项,最后得到

(f(j) + s2[j] - f(k) - s2[k])/(s1[j] - s1[k])\leq\;x[i]

整个式子就呈现\frac{y1-y2}{x1-x2}\leq f(i)的形式

根据这个条件,我们可以推出jk优当且仅当(f(j) + s2[j] - f(k) - s2[k])/(s1[j] - s1[k])\leq\;x[i]

那么考虑单调队列的队头维护,假设队头是i,i+1

一个比较显然的决策是如果i+1i优,那么i永远用不到

利用之前推出的条件,不妨记g(i,j)表示i,j的斜率式

那么如果满足g(i+1,i)\leq x[i],即i+1i优,那么队头就可以出队

考虑队尾的维护,假设队尾是b,c,即将入队的是d

显而易见,由于之前队头的相关操作,我们知道了要维护一个斜率越来越小的队列

即要整体呈上凸壳趋势,不是很懂对不对?画个图冷静下

然后就依靠此条件维护队尾就ok辣

 

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